[정보이론] 위너-킨친 정리에 대해 알아봅시다:)

위너 킨친 정리는 랜덤 프로세스가 stationary일 경우 자기상관함수가 시간차의 함수와 같게 되며, 에르고딕하다면 시간 평균에 대해서도 자기 상관함수와 같은 값을 가지게 됩니다. 그러므로 시간차로 나타낸 자기상관함수와 전력스펙트럼밀도(PSD)가 푸리에 관계에 있다는 것이 위너 킨친 정리입니다.

 

Rx(τ) <--F·T--> Sx(f)

      자기상관함수         전력스펙트럼밀도

 

위너-킨친 정리의 증명과정을 정리해보겠습니다.

 

자기상관함수와 전력스펙트럼밀도가 푸리에 관계에 있다는 것을 증명할 것입니다.

<이제 자코비안을 사용하여 변수를 치환함>

=> t = u+v, s=u로 치환합니다. 자코비안을 사용하면 원래의 좌표축에서 새로운 좌표축으로 옮겨지게 됩니다. 그렇게 되면서 dtds가 |J|duds로 바뀌게 됩니다. 여기서 |J|는

으로

                                              되어 |J|는 1이됩니다. 또한 변하는 좌표계를 그려보면

이렇게 적분영역이 바뀌고 v가 양수일 때와 음수일 때로 나눠줍니다.

 

1) v가 양수일 때는 v : 0 -> 2T, u: -T -> -V+T

2) v가 음수일 때는 v : -2T -> 0, u: -V-T -> T 이므로 대입해주면

 

 

∴ 평균 Pτ(w) = = F{Rx(τ)}가 됨으로써 자기상관함수와 전력스펙트럼밀도가 푸리에 관계에 있다는 것을 증명할 수 있습니다.